Правильно
Посередине – если слово является предлогом, то оно всегда пишется слитно с приставкой “по”. В данном случае слово “посередине” отвечает на вопрос “где?”.
Посередине реки было быстрое течение
Он напечатал текст посередине листа
Посередине озера находился остров
По середине – если мы отвечаем на вопрос “по чему?”, в данном случае имеем дело с предлогом “по” и существительным “середина”. В живой речи между ними часто добавляют другие слова.
Я провел ручкой по середине листа – Я провел ручкой по самой середине листа
Замер произвели по середине участка – Замер произвели по точной середине участка
глупости. В первой части то же можно добавить слово между "по" и "середине". Не внятное объяснение.